723-math-0002-암산하기

○ 과거에 올린 글을 다시 조금 정리하여 올립니다.


암산기법

1 제일 빠른 방법

문제에 대해 계산을 하지 않고

미리 문제와 그답을 외운다.

물어볼 때 외운

문제의답을 바로 부른다.

[9*9단을 왜 외우게 했는가는 매번 반복해 여러번 더하는 것보다는

외우고 외운 것을 그대로 꺼내는 것이 빨랐기 때문이었다는 평범한 진리!!]

7 곱하기 9는 7+7+7+7+7+7+7+7+7=63 하는 것보다는 그냥 외워서 63 하는 것이 빠르다는 의미다.

예) 연습 57894 * 345 = > 컴퓨터로나 종이에 계산을 한다.

답을 얻는다. 답을 외운다.

위 요령으로 3문제 정도 외운다. ( 긴 숫자 외우기는 아래 란을 자세히 참조하면 도움받을 수 있다. )

->

그 다음 아이들에게위 문제들을제시한다.

그 다음 눈을 지그시 감는 듯 폼을 잡은 다음

첫숫자부터 천천히 말한다.

음,,, 일천 .. 구백 구십.. 칠만 ( 좀 세게 )

삼천 사백 ... (힘든 듯 조금 찡그린다) 사 십

그 다음 상대가 아무런 문제를 내게 한다.

--

다음과 같이 계산한다.

* 다음은 아주 원칙적인 암산 계산 방법으로

특별한 트릭은 없고, 그저 반복 훈련을 하면 빨라진다.

곱셈인 경우

먼저 구구단이 부실하면 구구단부터외운다.

외울때는 한 자리 숫자앞에는 0을 넣어 외운다.

2*2= 04

2*3= 06

(

2*2= 04 는 이이는 공사 라고 외우고

9*9 는 팔십일 이라고 외우기 보다는 팔 일 하고 외우는 것이 낫다 )

* 1자리 수의 덧셈의 답을 모두 외운다.

(경우는 50 개 정도) 55 (조합수+ 같은수반복)

연습 : 9 + 7 = 16

7 + 9 = 16

8 + 7 = 15

곱셈하려는 양 숫자의 자리수를 계산한다. 더한다.

빨리 첫자리, 단위를 알아낸다.

test

6 자리면,, 십만 -- 일 십 백 천 만 십만,, -> 외우기

7 자리면 ->

8 자리면 ->

외운 구구단과

외운 덧셈을반복해가며 계산해

위 자리수에 차곡차곡 쌓아 나간다.( 앞자리부터 )

예:

이 부분을 잘 모르겠다고 해서,,일부로,,

다음 그림을 준비

설명의 편의상 좀 어려운 3자리수 곱셈문제로 예를 들었으나,

2 자리수 정도로 연습하면쉽습니다.

( 복잡해 보이지만, 머릿속 계산 순서가 위와 같다는 것입니다..

종이에 써서 계산하는 방법은종전대로 하시기를 바랍니다..)

다음 - 연습문제

54 * 432 는?

이 문제는

432 * 54 는? 과 같다.

편한 것을 찾아서 계산하면 되나,

자리수가 적은 것이 편해 보이므로,,

432 * 54

일단 (5자리) 확보

432 * 5 ( 앞자리수 5부터)

4*5 = 20

3*5= ( )15

------------

더하기 = 215

2*5= 10

--------------

2160

4*4 = 16

--------------

2320

3*4 = 12

--------------

2332

2*4= 08

---------------

23328

앞에서

구구단을 두자리씩 만들어 외우는 것은

자리수를 암산과정에서 혼동하지 않기 위함--

계산방식이 조금 학교방법과다른 것은,,

맨 첫자리부터 구구단을 통해 계산한다.

그다음은

( 구구단 결과 + 덧셈 )의 반복

뒷자리부터 계산해 올라가는 학교계산방법과자릿수 맞추는 것도 엇비슷하지만,

이 방법이 좀 빠른 것은? - 앞자리 계산이 끝난 단계부터는 앞자리값이 미리 정해져 나오게 된다.

어림수계산에서도 유용하다.

곱할 때 곱하는 자리수가 적거나

곱하는 수가첫자리가 1인 경우또는 자리 안에 1, 0, 5이 들어간 형태로

변환하면 낫다고 본다.

암산계산에서는

한 단계의 계산이 끝나면,

중간 계산결과를 갖고 있지 말고

바로 다음 계산에 넣어 사용한다.

이유는 -- 기억과정의 부담을 덜기 위해서다.

*******

만일중간 계산과정에서 한 단계의 계산결과를 ( 다음 계산까지 ) 잠시 기억하고,,

다음 계산 마치고 앞의 중간계산결과에함께 더해서 사용하려면

=>

보통 그 때쯤 되면 앞의 중간 계산결과값의 재생을 못해내게 된다.

이유는단기간 기억 시간을 넘고,,

이후 계산과정이 그 앞 계산결과내용의 기억내용을 유지하는 것을 방해하게 되어서다.

그러나 꼭 중간계산결과를 별도로 기억할 필요가 있다면,

다음의 별도 방법을 사용한다.

숫자를 (한국사람인 경우) 두자리씩 끊어서 한국말 단어라고 생각하고 읽는다.

한국말 단어에 없는 말이 나오면 적당히 흘려 발음해 기존에 있는 단어로 바꾼다.

물론 상호관련이 없는 단어들이 양산된다.

이것을 말이 되게끔 적당히 이어서 연상되기 쉽게 문장을 만든다.

(계산 과정안에서만 사용하면 되므로 너무 정성들이지 않아도 됨 )

64 72 45 68

육사 칠이 사오 윷판

-> 육사 (건물) 칠이 (벗겨져) 사오(시오) 윷판(을)

(tip:

0은 영이라고 하기보다는 공이라고 하는경우가 말이 더 잘 만들어지니, 공으로 하는 게 나을 듯,

5는 오라고 하는 경우 말이 잘 안찾아지면, ㄱ ㄴㄷ ㄹ ㅁ의 ㅁ이 5번째이므로 '모'로 대신할 수 있다고 하여 만든다)

위 방법이 잘 안되면,,

앞에 보이는 사물에 숫자판을만든다. 그 형상에 숫자형상(또는 주판을 알면 주판알모양)을 넣어 기억하거나,

동시에 각 부분씩 위 말들과 연상 결합시킨다.

주산이 뭔지도 모르는 사람이 많으므로

이것도 잘 안된다면 몇부분을 손가락을 꼽는다. (사실상 반칙)

중간계산 결과는 왜 이런 식으로 기억해야 하는가 ?

( 숫자는 지극히 추상적이어서, 재생단계에서는 재생해낼 숫자와 다른 숫자가 서로구별되어 재생해낼근거가

잘 생각이 나지 않게 된다.

그래서, 되도록 연상해내기 편한다른 구체적 관념으로 추상적인 숫자를 변경하는 작업이 필요하다.

그러나 이 변환과정이 시간이 걸리면, 암산에 사용하기 힘드니,,

빨리 변환하면서도 기억 재생하기 쉽도록 연습한다)

한국말은 2글자가 대다수이기 때문에 ... 3글자로 변환하려면 좀 힘듦,)

꺼낼 수 있는 대상에 위 변환 내용을 연결시킨다.

첫째 (손가락)는육사 어쩌구 저쩌구

꺼낼 필요가 있을 때는 위 연결고리로 꺼낸다.

( 가끔 숫자는 외우는데 꺼낼 연결고리와 결합시키는 것을 안하는 경우가 있다 )

이러면 그 내용(답)은 아는데 무엇(어떤 문제)에 대한 답인지 모르는 상태가 된다.

또 답의 내용은 열심히 외워 머리 속에 넣어 놓았지만,정작 그것이 필요한 상황에서는

그것을꺼내올 수단이 없어 못 꺼내온다.

(- 이 경우 나중에 답을 나중에 다시 보면 다 아는내용인데 그 때는 생각이 안났다고아쉬워 하게 된다. )

암산의 계산과정에서의 중간계산 값도 같은 문제가 된다.

(때로는 아예 애당초 처음 문제가 무엇이었냐고 되묻는 경우도 있게 된다. )

따라서 이런 식으로 기억 재생을 반복하며 계산할 때는

중요한 내용을 반복해가며 계산을 진행해야 하게 된다.

( 예:

중간계산결과를 불러 낼 때는

다음 계산할 문제도 외우고

그 시점의 다른 계산결과도 일단 외우고

꺼내야 한다.

그 다음 무엇을 꺼내야 하는지에 따라

앞의 열쇠[연결고리]를 사용하여 원하는 내용을 다시 꺼내야 한다.

- 이런 과정을 반복해야 한다. )

그러나 이런 식으로 하면 힘이 드므로,

되도록

중간 계산결과를 이처럼 외우지 않아도 되도록

다음 계산에 바로 넣어 이용하는 것이 나을 수 있다.

앞의 구구단을 통해 계산이 완료되면

앞에서 자리수에 해당한 단위를 붙여 ( 6자리는 -- #십만)

첫자리부터 계산 결과가 나오는 대로불러댄다.

---- 여기 까지가 원칙적인 암산 곱하기 계산 방법이다.

*********************************************************

숫자들이 아주 특별한 수일 때는

다음의별도 방법을 이용한다. (주된 원리 -> 인수분해법을 주로 이용해, 계산이 쉬운 형태의 문제로 바꿔 계산한다. )

다만 언제나 늘 적용할 수 없는 방식이므로,

앞의 기본원칙을 잘 훈련한 다음에, 보조적으로 사용하는 것이 좋다.

두 자리 숫자에서

같은 숫자의 제곱계산, 양 수의 차이가 비교적 적은 경우 (예 56 * 65 ) 등등은 인수분해를 이용한다

두자리 수 곱하기 계산에서 이 방법이 편하며

그 이상일 때는 그냥 계산하는 것이 나을 듯,,,

두자리 숫자 계산에서 앞 수를 기준으로 해서 서로 이런 수로될 가능성은 상당히 높다.

앞수가 56이면 이 방법으로 계산 가능한 다음 수는( 41 ~ 69 ) 정도가 된다.

대충 두자리 수 곱셈으로 만족한다면, 상당히 많은 계산문제가

이 방법으로 쉽게 해결된다는 이야기도 된다.

56 * 65 는 다음과 같이 계산한다.

우선 계산 원리를 이해하기 위해서

원칙적인 계산 방법을제시해보면, ,

56 * 65 는

(60-4) * (60+5)

이 식은 최종적으로 -> 60 *61 - 20 로 변환된다.

여하튼 이렇게 되면 1 자리수가 0 인 수의 곱셈계산식으로바뀌었다는 점에서 좀 쉬운 계산 식이 된 것 뿐이지만,

상당히 편한 계산식이 된다.

수식 변환결과 =>를 매번 위 식을 만들어 전개하여 구하려 하지 말고

그 최종 결과로 나오는 내용을다음과 같이 외운다.

1 두 수에 가장 가까운 중심 수 60을 잡는다.

1 원래 곱할 수와이 중심수의차를 각기 구한다 (-4, +5)

1 그 다음 위 수를중심수에 더한다.(60+1) // => 또는 중심수에서 한 수의 차를 구해 다음 수에 그냥 더한다. -4 + 65 => 61

1 이 두 수를서로 곱한다. (60* 61)

1다시 그 각 차를서로 곱한다 (-4 * 5) = -20

1 앞 계산 값에 이 수를 계산해 더하거나 뺀다.

1 '- ' 계산을 잘 모른다면,

이 수를 위 계산값에부호를 잘 정해 더해준다고 생각하면 된다.

부호는 두 수가 중심수에서 서로 같은 방향이면 (둘다 함께 중심수보다 많거나, 적으면) +이고

서로 다른 방향이면 - 라고 생각하면 된다. ]

****

참고: 인수분해식 (x+a)(x+b)= xx + ax + bx + ab = x(x+a+b) +ab

56 * 65 =(60-4) * (60+5) =60 * (60-4+5) - 20 = 60 * 61 - 20

****

-> 위 계산이 조금 더 빠른 것은 중심수의 1자리수가 0 이 되기 때문이다.

두자리수 곱셈이 실질적으로 두자리수* 한자리수 문제로 바뀌고 더하기 빼기 하면 된다.

연습문제를 풀어보면 매우 쉽게 계산이 됨을 확인할 수 있다.

55 * 65 => 60 * 60 -25

45 * 57 => 50 * 52 -35

95 * 83 => 90 * 88 -35

45 * 45 =>50 * 40 + 25

45 * 47 =>50 * 42 + 15 또는 40 *52 + 35

( 참고로 위 경우 50 을 기준수로잡는 것이 쉽다.

곱하기50 의 계산은100 곱한 뒤 2로 나눈 것과 같다.

이는 곱할 수에0 0 을 그냥 붙이고 각자리수를 반절씩 잡아 나눈다고 생각하면쉬워진다.

50 곱하기42 -> 4 2 0 0 의 각 반 절 수=> 2 1 0 0

기타 같은 방식으로 좀 더 쉬운 계산 식으로 변환이 가능하면 바꿔 계산 해도 된다.

11로 곱하는 경우는 더 쉽다.

곱할 수를 그대로 내리고 안에 양쪽 수를 더해 넣으면 된다...10을 넘으면 올리고,,

35*11=> 3(3+5)5 => 385

39*11 => 3(3+9)9 => 429

25*47 과 같은 계산은 => 47* 50 /2 => 47*100 /2 /2 => 4700 -> 2350 -> 1175이런 식으로 계산하면 빠를 수도 있다.

( 더 불편하다고? 많이 보이는 중간 계산 값들은 그냥외우면 계산이 빠르고 쉬움 )

다만 위 방법들은그것이 조금 더 편한 숫자들로변환 가능한관계인지 아닌지

판단하기가 귀찮을 수 있다.

만일 그렇다면 좀 무식하더라도

주어진 숫자에 대해 무조건 원칙적인 앞의 방법을

빨리 수행해내는것을 계속 연습한다.

* 뺄셈은 작은 수에서 큰 수를 뺄 때

그 큰 수에 더할 때10이 되는 수 (보수)를 이용하여 더하기로 바꿔 계산하면 쉽다.

보수 계산의 원리는14-7 과 같은 뺄셈은 => 14 -(10 - 3)=> 1 4 +'3' -10

즉 앞 10자리수에서 1을빼고 1자리수에 '뺄 수의 보수' 를 더해준다로 생각해서 계산하면 된다.

( 너무 기초인 듯 한데,,그래도 정리차원에서 )

뺄셈은 1자리수부터 계산하는 학교방식이 좋을까..

앞자리 부터 계산하는 방식이암산에 좋을까..

다음 문제를 보고 생각한다. ->

2345

- 1378

-----

앞자리 계산법 우선 10 까지는 쉽게구한다

그 다음4-7에서 어려움이 나타나면 보수 계산으로 앞 숫자에서 1을 빼9 를 구하고 4 + (보수3) 더해7 을 구해 97을 얻는다.

9 7 ----다음의 5- 8에서 어려움이 나타날 때 똑같은 보수계산으로

앞자리 에서 1을 빼96 구하고 5 + (보수)2 = 7 을 구해9 6 7 로 만든다.

답 967

10000

- 3456

---------

6544

* 이 뺄셈의 요령 -> 더해서 9가 되는 수를 죽 부르고 마지막 1자리수만 더해서 10이 되는 수(보수)를 부른다.

* 이런 것을 포함해

나누기 제곱근 구하기 계산은?

일단 머리를 종이로 생각한다.

종이위에 문제를 잘 적는다.

학교 수학시간에 배운 방식대로 '잘'푼다.

상대에게 답은 비밀로 한다고 하고 좀처럼 잘알려주지 않는다.

***********************************

완성되었다면, 다음의 진짜 마술쇼를 준비

아이들에게 아무 문제나 내게 한 다음

딱 1번 계산하는 모습을 보여준다.

이 모습을 아이들에게딱 1번 만 보여주고

다음부터는 절대 응하지 않는다.

( 매우 귀찮다 )

( 직접 계산해야 머리가 좋아진다고강조한다. )

( 코치는 절대 시합에 직접 나가지 않는다고 많은다른 사례들을보여준다)

( 코치가 직접 시합에 안나가는 이유를 깊게 물으면, 코치는 비록 이겨도 창피하게 되기때문이라고

알아듣게 말해준다)

아이들에게열심히 노력하도록 훈련시킨다.

-> 그 다음

계산 문제가 있으면 아이들에게

문제를 내고 답을 얻는다.

-> (틀리거나 맞거나 간에), 다시 한 번 계산하라고 요구한다.

( 혼자 속으로 마구 외운다 )

-> 3 번 해도 계속 같은 답을 불러대는 것으로 판단되면,

고개를 갸우뚱 거리면서,,

빨리 답을 받아 적는다.

-> 앞으로 계속 암산해야 할 필요가 있다고생각되면,

애가 암산에 보람을 느끼고즐거워하도록

자꾸 문제를 내 혹사(?)시킨다.

( 이상 )

-> 어디에 여행가서 무지 무지 할 일이 없고 심심할 때,

한 번 암산연습을 해본다.

//// 추기 ////


암산은
보통 두자리 곱하기 두자리만 빨리 하면 좋은데,,
이 경우 두자리 * 한 자리수 곱셈값을 외우면 이론상 좋다.

이 곱셈 가운데 비교적 쉬운 계산들을 빼면88 * 8 = 704 개가 나온다.
그래서 이들 704개 경우만 외우면 두자리 곱하기 두자리 계산이 매우 쉬어진다.

그래서 9 9 단과 704 단을 외우면 이제 이 이상의 계산은 이것을 기초로 상당히 빨라질 수 있다.
3자리수 이상의 곱셈도 매우 빨라지게 된다.

( 본인은 이론만 그렇다는 것이고 사실은 암산을 못함...^^)

여하튼예제삼아,,다음 엑셀파일로 연습해보기..

1329466945_multi.xls

web http://blog.paran.com/academy007/38247392