귀류법

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귀류법
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◆tdoz7930

◈Tok kum 2015/03/28/토/15:35

♥ 잡담 ♥귀류법 일반적으로는  귀류법과 귀납법을 혼동하는 경우도 있을 수 있다고 본다.  논리학 용어는 일반적으로 친숙한 용어가 아니기 때문이다.  한편 일반적인 귀류법과 중론에서 사용하는 귀류법을 혼동하는 경우도 있다.  그리고 개념에 내포와 외연이 있다고 할 때  '사람'이란 개념의 외연을 찾으라고 할 때 현실에서 눈을 뜨고 사람을 볼 때 그 사람이 차지하는 그 부분들을 사람이란 개념의 외연이라고 생각하는 경우도 있다.  일단 그것은 아니라는 것만 확인하기로 하자.  사람의 손, 발 이런 부분이 사람이란 개념의 외연이라고  생각하는 것도 이상한 것이다.  이렇게 각기 가리키는 부분이 무엇을 의미하는가 하는 부분에서 혼동이 발생하는 것이  사소하지만 논리를 이해하고 적용해갈 때,  실수하기 쉬운 부분이라고 본다.  귀류법에 대하여 기본적인 내용을  인터넷 백과사전을 통해서 정리한다. 그러나 블로그에 붙여서  이용할 수 있는 자료가 있고  그렇지 않은 자료가 구분되어 있다고 한다.  논리학에 대해 정리하려고, 여러 자료를 참고하다가,  갑자기 저작권자의 항의를 받을 수도 있다.  저작권법을 일일히 연구하여 무엇은 되고 무엇은 안 되는지 판단하기는 곤란하지만,  상식적인 판단에 입각하여  가장 기본적인 자료로 위키백과 자료만 붙여 놓고  나머지는 링크 처리하여 참조하기로 한다.  ● 일반적인 귀류법과 중론에서 사용하는 귀류법의 차이  일반적인 귀류법이란, 무엇인가를 증명하고자 할 때,  그 증명하고자 하는 내용을 직접 증명하기 곤란한 경우  간접적으로 사용하는 증명법이다. 그 방법은  증명하고자 하는 내용과 모순되는 내용을 일단 전제하고, 그런 전제에서는 필연적으로 거짓이 됨을 밝히는 것이다.  => 이 부분이 오류에 귀착된다는 귀류의 상태다.  이렇게 잘못임이 '필연적으로' 도출되면  그 전제가 잘못이라는 것이 밝혀진다는 것이다.  여기서 잘못임은 필연적으로 도출되어야 한다.  잘못일 수도 있고 아닐 수도 있으면,  전제가 반드시 잘못이라고 밝히기 곤란해진다.  여하튼 이런 논증을 통해  처음 전제한 내용이 잘못임을 밝히게 된다.  그런데 그런 오류를 통하여 이제 무엇을 간접적으로 증명하고자 하는가.  일반적으로 처음 전제한 사실이 잘못임을 통해서  이제 이를 통해 반대로 처음 전제한 사실과 모순되는 내용이 참이라는 것이  간접적으로 증명된다고 보는 것이다.  간단히 비유를 통해 이 관계를 설명하면 다음과 같다.  A가 겉으로 봐서는 남자인지 여자인지 잘 모르는 상태라고 하자.  어떤 이가 A는 여자라고 생각하고 이를 증명하려고 한다.  그런데 이 사실을 직접 밝히는 것이 곤란하다면,  이를 간접적인 방법을 통해 밝히고자 하는 것이다.  그는 이렇게 증명한다.  일단 A가 여자임을 밝히려는 이가  그와는 모순된 내용으로서 A는 남자라고 전제한다. 그렇다면, 그는 '필연적으로' 화장실을 들어갈 때 남자화장실을 갈 것이다.  그런데 지켜보니 A가 여자 화장실을 들어간다. 그래서 남자라고 전제할 때 당연히 예상된 부분이 거짓으로 된다.  이에 따라서 처음 남자라고 전제한 내용도 잘못이라고 밝히는 것이다.  이것이 처음의 귀류다.  처음 전제한 내용이 그런 오류를 만나게 되고,  그래서 그 전제도 오류라고 밝히게 된다.  이렇게 밝히고 나서  처음 A가 남자라고 전제한 내용이 잘못이므로  이제 이를 통해 A는 남자가 아닌 여자라는 내용을 간접적으로 증명하고자 하는 것이다.  이는 이해를 위한 비유적인 내용이다.  엄격하게 생각하면, 우선 여자의 모순 개념이 남자만 있는 것은 아니다.  한편 남자라고 남자화장실만 가고 여자화장실을 못 들어가는 것은 아니다.  남자도 화장실 수리나 관리 점검을 위해 여자 화장실을 들어갈 수도 있다.  여자화장실을 들어가면 남자라는 것이 반드시 잘못이라는 필연적인 관계가 없으므로, 위 사실만으로는 A가 남자라는 것을 반드시 거짓이라고 할 수는 없다.  또 A가 남자라는 것이 거짓이라고 해도,  그것만으로 A가 여자임을 단정할 수는 없다.  앞에서도 모순개념을 보았는데 남자가 아니고 중성일 수도 있다.  한편 모순개념은 종개념들 사이에서 문제삼는 것인데  유개념의 범위(범주)를 넘어서는 다른 개념의 경우는 어떻할 것인가도 문제될 수 있다.  예를 들어  남자는 아니라고 한다면 그것이 외계인이라거나, 동물이거나 로보트일 수는 없는가. 이런 식으로 논의가 나아갈 수 있다면  남자가 아님을 명백히 밝혀도 그것을 통해 여자란 결론을 간접 증명한다고  보기 힘들기 때문이다.  더 나아가 단순한 개념의 모순관계를 넘어서  명제의 모순은 어떤 내용을 의미하는가도 문제된다 . 'A가 남자다'가 거짓이라고 해서  그것은 곧 ''A가 여자다'를 간접 증명한 것이 되는 것인가. 예를 들어 'A가 무엇인지 모르지만, 남자만은 아니다.' 이런 경우도 있지 않은가.  그래서 사실 자세히 살핀다면  여기에는 더 논의할 내용이 많은 것이다.  그래서 귀류논증에서 생각할 문제가 조금 있다고 보게 된다.  한편 중론에서 사용하는 귀류논증식이란  또 위와는 차이가 있다. 우선 불교의 중론에서는  논증의 목적과 취지가 일반의 경우와는 다르다.  중론과 같은 논서에서는 어떤 이들이 관념으로 분별한 내용이 그대로 실재한다고 주장할 때  이런 상대의 주장을 고집하면 그것이 필연적으로 잘못된 결론에 도달하므로 그런 주장이 잘못이라고 밝혀 상대의 주장을 논파해 내는 것이 목적이라고 할 수 있다.  이 부분은 앞의 귀류논증과 마찬가지라고 할 수 있다 . 어떤 주장 => 필연적인 잘못 으로 귀결되는 관계성을 밝히는 것은 같다고 볼 수 있는 것이다.   그런데 용수와 같은 중관논사는  앞에서 일반적인 경우 귀류논증을 통해 간접적으로 밝히려는 내용이 여기에서는 없다는 것이 차이라면 차이다.  만일 용수와 같은 중관논사가  귀류논증을 일반적인 형태로 사용하면  용수 자신이 상대의 주장을 논파하려다 오히려 자신이 자칫 자신의 주장으로 자승자박당하는 결과에 이를 수도 있게 된다.  그것은 다음과 같은 사정 때문이다.  먼저 어떤 상대의 주장이 잘못임을 밝히기 위해 이렇게 비판하게 된다. 상대의 주장이 참이라고 하면  그 경우 어떤 (잘못된) 결론이 필연적으로 얻어지게 된다.  이렇게 해서 원래 주장이 잘못임을 밝히고자 하는 것이다. 그런데 이 관계가 필연적으로 확실하지 않으면 상대의 주장이 잘못이라는 것도 밝히지 못한다.  그래서 용수가 이렇게 주장할 때 어떻게 보면 그런 전제에서는 그런 결론이 필연적으로 얻어진다는  사실만은 확실하다고 용수 자신이 제시한 것처럼 된다.  그런데 이것은 사실 이런 내용은 그런 관계를 인정할 수 없는  용수의 입장과  어긋난 것이 된다.  그래서 오히려 이런 내용은 잘못 이해하면 용수가 스스로 자승자박적인 비판을 하는 것으로 이해할 여지도 있다.  또 일반적인 귀류논증은  결국 원래의 전제가 잘못임을 밝혀서  그와 모순되는 내용이 참임을 간접증명하려는 취지에서 사용되는 것이다.  그렇기에 또 용수의 논증을 이렇게 이해하기도 쉽다 . 그러면 또 곤란해진다.  예를 들어 상대가 생멸을 세우고 이런 생멸함이 실재한다고 주장할 때, 용수논사가 귀류논증을 통해 그런 주장이 잘못임을 밝힌다고 하자.  그런데 이제 용수논사가 그렇게 생멸을 부정했으므로,  생하지도 않고 멸하지도 않는 불생불멸 그 자체만은 확실하다고 밝힌 것인가.  또는 생멸을 부정하므로,  이제 생멸하지 않는 상태, 그래서 생멸이 전혀 없이 그대로 영원히 존재하는 상태  이런 것을 간접적으로 증명한 것인가? 일반의 귀류논증은 위와 같은 경우를 예상하는 것이지만,  용수논사가 사용한 귀류논증을  이렇게 오해하면 곤란하다.  즉, 용수에게는 귀류논증을 통해 잘못임을 밝히지만,  그런 주장이 잘못임을 단정하는 것도 아니고,  그 주장을 부정하는 명제를 증명하는 것도 아니고  그 내용과 모순되는 내용을 간접적으로 참이라고 증명하는 것도 아니다. 용수의 입장은 그런 것이 아닌 것이다.  용수가 주장하는 실재의 공함은  그런 것을 주장하는 것이 아니기 때문이다.  비록 생멸함이 실재한다거나, 이를 단정할 수 없으므로 불생불멸이라고 제시하지만, 이 표현이 반대로 단정적으로 불생불멸을 주장하는 것이 아닌 것이다. 더 나아가 불생불멸이 생멸함과는 모순되는 상태라고 할 수 있는 영원함 등을 간접적으로  증명하기 위해 사용되는 것도 아닌 것이다.    그래서 중론에서의 귀류논증은  일반적인 귀류논증과는 차이가 있는 것이다.  따라서 중론에서의 귀류논증은 다음과 같이 이해해야 한다.  우선 귀류의 과정은  만일 상대가 그런 주장을 한다면,  그래서 상대의 주장과 상대의 입장을 그대로 받아들인다면,  그런 잘못된 결론을 만나게 된다는 내용일 뿐이다.  따라서  그런 주장과 그런 주장이 필연적으로 잘못된 결론을 만나게 되는 관계자체는  공을 주장하는 용수의 입장에서   적극적으로 내세우는 내용이 아닌 것이다.  이를 좀 더 구체적으로 표현하면 다음과 같은 것이다.  실재의 공함을 제시하는 용수의 입장에서는  상대와 같은 그런 주장이나, 그와 모순되는 다른 주장이나  제시하는 바가 없는 것이다.  그러나 만일 상대가 그런 주장을 제시하면  그 경우에는 그 상대의 입장에서는 이러이러한 오류를 필연적으로  만나게 될 것이다. 그러니 그렇게 하면 곤란하다.  이 정도만 말하는 것이라고 이해할 수 있다.  이를 넘어서 용수의 주장은  그와 모순되는 내용이 실재의 내용임  이런 것을 단정적으로 주장하는 입장은  아닌 것이다.  중론 관오음품에서는 이에 관련된 내용을 볼 수 있다.  『중론』sinsu 30. p.07a19 　    若人有難問　　離空說其過 　是不成難問　　俱同於彼疑 4-9) 만일 누군가가 난문(상대의 주장을 비판하는 내용)이 있는데 空을 떠나서 그 잘못을 설명한다면 난문이 성립되지 못하여 함께 (애초의) 그 의문과 똑같게 된다. 4-9) vyākhyāne ya upālambhaṃ kṛte śūnyatayā vadet/      sarvaṃ tasyānupālabdhaṃ samaṃ sādhyena jāyate//  여하튼 중론은 매우 간략한 게송이어서  그것만으로 그 논증관계를 충분히 이해하는 데는 어려움이 많다.  단순히 결론적 내용만 게송으로 제시하고  그에 대한 자세하고 구체적인 논증과정은 잘 보이지 않는 경우가 많기 때문이다.  이런 어려움이 있기 때문에  중론의 내용을 이해하려면  중론을 통해 용수 논사가 비판하고 드러내고자 한 내용이  무엇인가를 기본적으로 이해하는 것이 필요하다고 본다.  원래 현실에서 사람들이 상식적으로  관념으로 분별한 다음 자신이 생각하는 그런 내용들이  감각현실에서도 그대로 있고   또 실재에도 그렇게 실재한다고 생각하고 ,  또 그 내용은 진짜라고 할 영원불변한 실체의 내용으로도 존재한다.  이렇게 생각하기 쉽다.  그래서 그런 식으로 주장을 내세우는 것이다.  그런데 중론에서는 그처럼 각종 분별로 내세우는 내용들이  그처럼 그 내용 그대로 실재한다는 주장을 깨뜨리기 위하여  여러가지 방식으로 논증을 펼치고 있는 것이다.  따라서 자신도 만일 그런 이의 주장을 만나면  어떻게 이를 논파할 수 있는가를 생각해 볼 필요가 있다 . 중론에서는 대표적으로 문제되는 내용을 뽑아서  이에 대해 논파하지만, 만일 이에 나열되지 않는 내용에 관련해  어떤 이가 그것이 실재한다고 주장하면  또 이는 어떻게 논파할 수 있을 것인가.  그런 입장에서 이 문제를 본다면  다음과 같은 여러 방식을 생각해 볼 수 있다.  즉, 상대가 그런 잘못된 주장을 내세우면  우선 관념 영역안에서도 형식 논리적으로도  자체적으로 모순된 결론을 얻게 됨을 제시하여 그런 관념 자체가 처음부터 갖는 문제를 지적할 수 있다.  또 그런 내용은 감각현실을 얻는 여러 영역에서도 그 내용을 찾아보아도  그런 내용을 얻을 수 없음을 제시할 수 있다. 한편,  어떤 내용이 실재한다고 할 때 실재한다는 것은 어떤 내용이  현상내 내용이나 현실의 주관과 전혀 관계없이 자체적으로 존재한다는 것을 의미한다. 따라서 어떤 내용이 그처럼 현실내용과 무관하게 독립적으로 존재할 수 있다면  그로 인해 갖게 되는 모순점을 밝혀서 그것이 실재하는 내용으로 존재할 수 없음을 밝힐 수도 있다.  한편  그런 내용이 영원불변한 실체의 내용이라고 전제하면 그것이 다른 것과의 관계에서  필연적으로 만들어 내게 되는 모순점과 잘못을 밝힘으로써 그런 주장을 깨뜨릴 수 있을 것이다.  이처럼 상대의 주장이 잘못이라는 것을  논리관계를 통해 그 잘못을 밝히고 깨뜨린다.  그리고 이런 측면에서 논리가  실재에 대한 진리를 밝히는데 기여한다고 할 수 있다.  그러나 이런 논리가 실재는 무엇임을 적극적으로 제시해줄 수 있는 것은 아니다.   한편 분별은 무한하게 별려 세울 수 있고  이에 따라 어떤 내용이 실재한다는 주장도 무한히 나열할 수 있는데  이런 식으로 한없이 논파만 하면  그로 인해 실재에 대한 진실이나 진리가 반사적으로  파악이 된다고 볼 것인가.  그래서 결국, 엉터리 주장을 하나하나 나열해 논파하는 노력과는 별도로  현실의 내용과  실재가 어떤 관계로 기본적으로 정립되는 것인가를  기본적으로 이해하고 확인하는 것이 필요하다고 본다.  따라서 무엇보다 먼저 현실내용과 실재는 어떤 관계에서 문제되는 내용들인가를  명확히 이해할 필요가 있다.  그리고 그런 실재의 내용은  어떤 이유로  관념적인 내용으로 이분법적인 분별로 규정할 수 없는 것인가를  이해해야 한다고 본다.  또 각 조건에 따라 임시적이고 가변적으로 나타나는 현실 내용과는 별도로  왜 영원불변한 것을 진짜라고 하여 그런 내용을 찾게 되는가 그리고 또 왜 그런 내용은 존재할 수 없다고 하는가를  이해해야 한다.  그리고 영원불변한 실체의 부존재는   실재의 공함과는 다시 어떤 관계인가를  이해할 필요가 있다 . 만일 영원불변한 실체가 있다면,  그 실체를 실재의 내용으로 제시하면 되고   실재를 공하다고 할 수는 없다.  그래서 반대로 실재가 공하다고 하는 것은 무아, 무자성이라는 사실도 함께 제시하는 것이 된다.  그러나 실체가 존재하지 않는다고 하더라도  그로 인해 실재는 비록 그것이 영원불변한 실체는 아니더라도  반드시 전혀 없는 것이라고 할 수는 없다 . 또 그렇다면 실재의 내용은 반드시 얻지 못한다고  단정할 수는 없다.  그렇지만, 실체는 실체대로 존재하지 않고,  또 실재의 내용은 실재의 내용대로 끝내 직접 얻지 못하는 것이다.  그래서 이 둘의 관계를 이처럼 서로 관련시켜  이해할 필요가 있다.  불교에서는 실체가 없다는 측면에서  승의무자성, 인무아 법무아를 제시하는 것이고  실재의 내용을 얻을 수 없고, 실재의 상태를 이분법적인 분별로 나타내거나 언어로 표현할 수 없는 측면에서  실재를 공하다고 제시하는 것이다 . 또 실재의 진여는  그 내용을 직접 얻지는 못하지만,  전혀 아무것도 없는 것은 아니고  모든 현실 내용의 본 바탕이라고 할 것이므로  이를 원성실상(圓成實相)이라고 표현하기도 한다.  진여, 실재, 법계, 실상 등의 표현도 결국 이와 같은 내용을 가리키는 것으로 이해된다.  그런데 이들 진여 실재, 원성실상도  진짜라고 할 영원불변한 실체의 내용은 아님을 함께 이해해야 한다.   즉 진여 실재를 말하지만, 영원불변한 실체는 존재하지 않는다라는 사실 [인무아, 법무아, 무자성, 승의무자성]을 이해해야 한다.  그래서 어떤 내용을 실체와 실재의 측면에서  그 정체를 추구할 때  이들 내용은 결국 직접 얻지 못하는 내용이 된다. 따라서 이에 관해 이들 내용을  언어로 표현하더라도  이는 사실은 언어로 표현할 수 없는 내용을  언어로써 표현하는 것이 된다.  결국 이런 경우의 언어는  마치 달을 가리키는 손가락과 같은 기능을 할 뿐인 것이다.  그래서 이런 경우의 언어적 진술은  언어로는 본래 나타낼 수 없는 초월적 진리[승의제]를  단지 이해하는 데 도움을 주기 위하여  현실에서 언어라는 방편을 사용하여 나타내는 경우가 된다.  그런데 이런 초월적 진리[승의제]의 내용은  또 그 승의제의 입장에서는 망상분별이고 희론이라고 할 수 있는 내용들 즉, 현실에서 얻는 감각현실과 관념을 바탕으로 한 세속에서의 진리[세속제]를  바탕으로 추리하고 판단하고 제시하는 것이 된다.  여기에 적용되는 논리도 사정이 같다.  실재내용은 언어나 분별을 떠나므로  이런 실재에 적용되는 논리를 생각하기 곤란하다.  그래서 논리란 사실은 관념의 영역에 바탕한 것이다.  그러나 이 논리를 통해서 반대로  이런 논리를 벗어난 승의제의 내용을 제시하고 밝히게 되는 것이기도 하다.  이런 사정으로 인해  같은 언어 표현이지만,  그 언어표현이 구체적으로 가리키고자 하는 내용이 무엇인가에 따라  승의제와 세속제의 구분을 낳게 되는 사정이 있다고 이해해야 한다.  또 반대로 경전의 내용 등을 대할 때는 각 언어 표현이 어떤 내용을 가리키는 것인가를  늘 염두에 두면서 내용을 이해하려고 해야 한다고 본다.  그렇지 않으면 쉽게 오류를 일으키게 된다.  예를 들어 비유적으로 다음과 같은 오류를 생각할 수 있다. 사과는 한글이다.  한글은 세종대왕이 창제했다.  그래서 지금 먹는 이 사과는 세종대왕이 창제했다.  이런 식으로 생각한다면 이것이 잘못임을 누구나 쉽게 생각할 수 있다.  그런데 하나의 언어가  나타내게 되는 다양한 의미 영역의 차원을 구별하지 않으면 위와 같은 오류상태에 쉽게 빠지게 되는 것이다.  따라서 각 언어표현이 가리키고자 한 내용이  무엇인가를 이해하려고 노력할 필요가 있다.  예를 들어  나는 '무아이며 일체는 공하다'고 주장한다.  이런 간단한 문장에도 이 문장을 구성하고 있는 각 단어가 가리키는 내용에서는 각기 차이가 있는 것이다.  언어는 기본적으로 언어적 차원의 의미를 가리킬 수도 있고 ( 사과는 두 글자로 된 단어다. ) 관념내용을 가리킬 수 있고  ( 사과는 눈을 감고 생각해도 침을 나오게 한다.  )  감각현실을 가리킬 수 있고 ( 눈을 부릅뜨고 찾아봐도 방에서 사과가 보이지 않는다. ) 또 실재의 내용을 가리킬 수도 있고 ( 사과는 얻을 수 없고 공하다.)  또 실체의 내용을 가리킬 수도 있다. ( 지금 보는 사과의 모습안에 사과란 존재하지 않는다 )  그리고 불교에서 나와 나의 것이 존재하지 않는다는 내용은  실체의  측면에서 나와 나의 것을 문제삼는 경우이다.  그런데 이들을 모두 다 섞어서 함께  논의를 진행할 때는  각 부분에서의 이런 언어적 표현들이  구체적으로 각기 어떤 내용을 가리키기 위해  사용된 것인가에 주의를 기울여야 한다고 본다.  따라서 각 문장의 의미를 명확히 이해하려면  내용이 전개 되는 전후 사정 및 단어나 표현이 사용되는 문맥 등에  다각적으로 주의를 기울여 이해를 하지 않으면  결국 앞과 같이  지금 먹는 이 사과는 한글이기에 세종대왕이 창조한 것이다라는 식으로  잘못된 이해도 하고 잘못된 추론도 하게 된다고 본다.  ○ [pt op tr]  mus0fl--France Gall - Si Maman Si.lrc mus0fl--France Gall - Si Maman Si.lrc mus0fl--France Gall - Si Maman Si.mp3 mus4fl--France Gall- Si maman si.wmv_(360p).mp4 mus4fl--France Gall - Si, maman si (1977)_(360p).mp4 >>> SONG https://www.youtube.com/watch?v=nk-TObUP5NM mv (1977) https://www.youtube.com/watch?v=mFREqkrGSvU [00:00]Lyrics >>> Si Maman Si Lyrics "Si Maman Si" was written by Berger, Michel. Tous mes amis sont partis Mon coeur a démnag Mes vacances c'est toujours Paris Mes projets c'est continuer Mes amours c'est inventer Si, maman, si Si, maman, si Maman, si tu voyais ma vie Je pleure comme je ris Si, maman, si Mais mon avenir reste gris Et mon coeur aussi Et le temps défile comme un train Et moi je suis la fentre Je suis si peu habile que demain Le bonheur passera peut-tre Sans que je sache le reconnatre Si, maman, si Si, maman, si Maman, si tu voyais ma vie Je pleure comme je ris Si, maman, si Mais mon avenir reste gris Et mon coeur aussi Mon coeur est confortable, bien au chaud Et je lasse passer le vent Mes envies s'teignent, je leur tourne le dos Et je m'endors doucement Sans chaos ni sentiment Si, maman, si Si, maman, si Maman, si tu voyais ma vie Je pleure comme je ris Si, maman, si Mais mon avenir reste gris Et mon coeur aussi Si, maman, si Si, maman, si Maman, si tu voyais ma vie Je pleure comme je ris Si, maman, si Mais mon avenir reste gris Et mon coeur aussi Songwriters BERGER, MICHEL Published by Lyrics © Universal Music Publishing Group >>> If Mom If Lyrics "If Mom If" was written by Berger, Michel. All my friends are gone My heart démnag My vacation is always Paris My project is to continue My love is to invent If mom if If mom if Mom, if you saw my life I cry as I laugh If mom if But my future is gray My heart And time is running like a train And I'm the window I'm so little clever tomorrow Happiness will perhaps Without my knowing the reconnatre If mom if If mom if Mom, if you saw my life I cry as I laugh If mom if But my future is gray My heart My heart is comfortable, warm I tired the wind pass S'teignent my cravings, I turn back to them And I fall asleep gently Without chaos or feeling If mom if If mom if Mom, if you saw my life I cry as I laugh If mom if But my future is gray My heart If mom if If mom if Mom, if you saw my life I cry as I laugh If mom if But my future is gray My heart Songwriters BERGER, MICHEL Published by Lyrics © Universal Music Publishing Group >>> ● [pt op tr] fr

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귀류법

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

귀류법(歸謬法, 문화어: 귀유법)은
어떤 주장에 대해 그 함의하는 내용을 따라가다보면
이치에 닿지 않는 내용 또는 결론에 이르게 된다는 것을 보여서
그 주장이 잘못된 것임을 보이는 것이다.

'배리법'(背理法) 또는 '반증법'(反證法)이라고 일컬어지기도 한다.^[1] 

귀류법은 간접증명법이다.^{[2] [3] [4]}

영어권에서는 라틴어로 "레둑티오 아드 아브수르둠(Reductio ad absurdum)"이라고 하며
이것의 해당 영어 번역은 "리덕션 투 더 업설드(reduction to the absurd)"이다. 

수학에서는 특히 귀류법 또는 배리법이라고 부르며,
수학의 귀류법은 어떤 수학적 명제가 참인 것을 증명하는 수학적 증명 방법 중 하나이다.

수학의 귀류법은 영어로 "Proof by contradiction (프루프 바이 컨트러딕션 · 모순에 의한 증명)"이라고 한다.

목차

  [숨기기] 

• 1 단어들의 의미
• 2 수학의 귀류법
• 3 함께 보기
• 4 각주

단어들의 의미[편집]

문자 그대로의 뜻에 의거할 때,
귀류법 · 배리법 · 반증법 · 레둑티오 아드 아브수르둠 등의 단어들의 뜻은 다음과 같다.

• 귀류법(歸謬法): 오류로 귀착된다는 것을 보임
• 배리법(背理法): 이치에 어긋나게 된다는 것을 보임
• 반증법(反證法): 반대 증거가 나타나게 된다는 것을 보임
• 레둑티오 아드 아브수르둠(Reductio ad absurdum): 터무니 없는 것으로 돌아가게 되는 것을 보임

수학의 귀류법[편집]

수학에서 귀류법 · 배리법은
증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정하였을 때 
모순되는 가정이 나온다는 것을 보여,
원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다.

귀류법은 유클리드가 2000년 전 
소수의 무한함을 증명하기 위해 사용하였을 정도로
오래된 증명법이다.

예를 들어 가 유리수가 아님을
귀류법으로 증명하기 위해서는
다음과 같은 과정을 따른다.

1. 가 유리수라고 가정한다.
   따라서 으로 둘 수 있다.
    (는 서로소인 자연수)
2. 이므로 는 2의 배수이다. 
   이 2의 배수이므로, 도 2의 배수이다.
    따라서 로 둘 수 있다.
    (여기서 는 자연수)
3. 이므로 은 2의 배수이다. 
   이 2의 배수이므로, 도 2의 배수이다.
4. 이는 가 서로소라는 가정에 모순이다.
   따라서 는 유리수가 아니다.

함께 보기[편집]

• 논증(Argument)
• 추론(Inference · Reasoning)
• 연역법(Deductive reasoning)
• 귀납법(Inductive reasoning)
• 증명(Mathematical proof)
• 수학적 귀납법(Mathematical induction)

각주[편집]

1. 이동↑ Nicholas Rescher. “Reductio ad absurdum” (영어). 《The Internet Journal of Philosophy》. 2011년 1월 25일에 확인함.
2. 이동↑ 차길영. 귀류법에 관하여. 경인일보. 2010년 1월 24일.
3. 이동↑ 김경. 2015 수시 논술중심전형 수리논술 대비 방안. 베리타스알파. 2014년 9월 15일.
4. 이동↑ 조홍재. ‘수열’ 파트 증명 문제 어떻게. 세계일보. 2014년 7월 27일.

이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 서로의 지식을 모아 알차게 문서를 완성해 갑시다.

분류: 

• 논리학
• 논증

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Proof by contradiction

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See also: Table of logic symbols

In logic, proof by contradiction is a form of proof, and more specifically a form of indirect proof, that establishes the truth or validity of aproposition by showing that the proposition's being false would imply a contradiction. Proof by contradiction is also known as indirect proof,apagogical argument, proof by assuming the opposite, and reductio ad impossibilem. It is a particular kind of the more general form of argument known as reductio ad absurdum.

G. H. Hardy described proof by contradiction as "one of a mathematician's finest weapons", saying "It is a far finer gambit than any chessgambit: a chess player may offer the sacrifice of a pawn or even a piece, but a mathematician offers the game."^[1]

Contents

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• 1 Examples
  • 1.1 Irrationality of the square root of 2
  • 1.2 The length of the hypotenuse
  • 1.3 No least positive rational number
  • 1.4 Infinity of primes
  • 1.5 Other
• 2 In mathematical logic
• 3 Notation
• 4 See also
• 5 References
• 6 Further reading
• 7 External links

Examples[edit]

Irrationality of the square root of 2[edit]

A classic proof by contradiction from mathematics is the proof that the square root of 2 is irrational.^[2] If it were rational, it could be expressed as a fraction a/b in lowest terms, where a and b are integers, at least one of which is odd. But if a/b = √2, then a² = 2b². Therefore a² must be even. Because the square of an odd number is odd, that in turn implies that a is even. This means that b must be odd because a/b is in lowest terms.

On the other hand, if a is even, then a² is a multiple of 4. If a² is a multiple of 4 and a² = 2b², then 2b² is a multiple of 4, and therefore b² is even, and so is b.

So b is odd and even, a contradiction. Therefore the initial assumption—that √2 can be expressed as a fraction—must be false.

The length of the hypotenuse[edit]

The method of proof by contradiction has also been used to show that for any non-degenerate right triangle, the length of the hypotenuse is less than the sum of the lengths of the two remaining sides.^[3] The proof relies on the Pythagorean theorem. Letting c be the length of the hypotenuse and a and b the lengths of the legs, the claim is that a + b > c.

The claim is negated to assume that a + b ≤ c. Squaring both sides results in (a + b)² ≤ c² or, equivalently, a² + 2ab + b² ≤ c². A triangle is non-degenerate if each edge has positive length, so it may be assumed that a and b are greater than 0. Therefore, a² + b² < a² + 2ab + b² ≤ c². The transitive relation may be reduced to a² + b² < c². It is known from the Pythagorean theorem that a² + b² = c². This results in a contradiction since strict inequality and equality are mutually exclusive. The latter was a result of the Pythagorean theorem and the former the assumption thata + b ≤ c. The contradiction means that it is impossible for both to be true and it is known that the Pythagorean theorem holds. It follows that the assumption that a + b ≤ c must be false and hence a + b > c, proving the claim.

No least positive rational number[edit]

Consider the proposition, P: "there is no smallest rational number greater than 0". In a proof by contradiction, we start by assuming the opposite, ¬P: that there is a smallest rational number, say, r.

Now r/2 is a rational number greater than 0 and smaller than r. (In the above symbolic argument, "r/2 is the smallest rational number" would be Qand "r (which is different from r/2) is the smallest rational number" would be ¬Q.) But that contradicts our initial assumption, ¬P, that r was thesmallest rational number. So we can conclude that the original proposition, P, must be true — "there is no smallest rational number greater than 0".

Infinity of primes[edit]

Assume that the number of prime numbers is finite. There is thus an integer, p which is the largest prime.

p! (p-factorial) is divisible by every integer from 2 to p - 1, as it is the product of all of them and p. Hence, p! + 1 is not divisible by every integer from 2 to p - 1 (it gives a remainder of 1 when divided by each). p! + 1 is therefore either prime or is divisible by a prime larger than p.

This contradicts the assumption that p is the largest prime. The conclusion is that the number of primes is infinite.^[4]

Other[edit]

For other examples, see proof that the square root of 2 is not rational (where indirect proofs different from the above one can be found) andCantor's diagonal argument.

In mathematical logic[edit]

In mathematical logic, the proof by contradiction is represented as:

If

then

or

If

then

In the above, P is the proposition we wish to prove, and S is a set of statements, which are the premises—these could be, for example, theaxioms of the theory we are working in, or earlier theorems we can build upon. We consider P, or the negation of P, in addition to S; if this leads to a logical contradiction F, then we can conclude that the statements in S lead to the negation of P, or P itself, respectively.

Note that the set-theoretic union, in some contexts closely related to logical disjunction (or), is used here for sets of statements in such a way that it is more related to logical conjunction (and).

A particular kind of indirect proof assumes that some object doesn't exist, and then proves that this would lead to a contradiction; thus, such an object must exist. Although it is quite freely used in mathematical proofs, not every school of mathematical thought accepts this kind of argument as universally valid. See further Nonconstructive proof.

Notation[edit]

Proofs by contradiction sometimes end with the word "Contradiction!". Isaac Barrow and Baermann used the notation Q.E.A., for "quod est absurdum" ("which is absurd"), along the lines of Q.E.D., but this notation is rarely used today.^[5] A graphical symbol sometimes used for contradictions is a downwards zigzag arrow "lightning" symbol (U+21AF: ↯), for example in Davey and Priestley.^[6] Others sometimes used include a pair of opposing arrows (as  or ), struck-out arrows (), a stylized form of hash (such as U+2A33: ⨳), or the "reference mark" (U+203B: ※).^[7][8] The "up tack" symbol (U+22A5: ⊥) used by philosophers and logicians (see contradiction) also appears, but is often avoided due to its usage for orthogonality.

See also[edit]

• Proof by contrapositive

References[edit]

1. Jump up^ G. H. Hardy, A Mathematician's Apology; Cambridge University Press, 1992. ISBN 9780521427067. p. 94.
2. Jump up^ Alfield, Peter (16 August 1996). "Why is the square root of 2 irrational?". Understanding Mathematics, a study guide. Department of Mathematics, University of Utah. Retrieved 6 February 2013.
3. Jump up^ Stone, Peter. "Logic, Sets, and Functions: Honors". Course materials. pp 14–23: Department of Computer Sciences, The University of Texas at Austin. Retrieved 6 February 2013.
4. Jump up^ Further Pure Mathematics, L Bostock, F S Chandler and C P Rourke
5. Jump up^ Hartshorne on QED and related
6. Jump up^ B. Davey and H.A. Priestley, Introduction to lattices and order, Cambridge University Press, 2002.
7. Jump up^ The Comprehensive LaTeX Symbol List, pg. 20. http://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf
8. Jump up^ Gary Hardegree, Introduction to Modal Logic, Chapter 2, pg. II–2. http://people.umass.edu/gmhwww/511/pdf/c02.pdf

Further reading[edit]

The Wikibook Mathematical Proof has a page on the topic of: Proof by Contradiction

• Franklin, James (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. chapter 6: Kew. ISBN 978-0-646-54509-7.^{[dead link]}

External links[edit]

• Proof by Contradiction from Larry W. Cusick's How To Write Proofs

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Reductio ad absurdum

From Wikipedia, the free encyclopedia

Reductio ad absurdum (Latin: "reduction to absurdity"; pl.: reductiones ad absurdum), also known as argumentum ad absurdum (Latin: argument to absurdity), is a common form of argument which seeks to demonstrate that a statement is true by showing that a false, untenable, orabsurd result follows from its denial,^[1] or in turn to demonstrate that a statement is false by showing that a false, untenable, or absurd result follows from its acceptance. First recognized and studied in classical Greek philosophy (the Latin term derives from the Greek "εις άτοπον απαγωγή" or eis atopon apagoge, "reduction to the impossible", for example in Aristotle's Prior Analytics),^[1] this technique has been used throughout history in both formal mathematical and philosophical reasoning, as well as informal debate.

The "absurd" conclusion of a reductio ad absurdum argument can take a range of forms:

• Rocks have weight, otherwise we would see them floating in the air.
• Society must have laws, otherwise there would be chaos.
• There is no smallest positive rational number, because if there were, then it could be divided by two to get a smaller one.

The first example above argues that the denial of the assertion would have a ridiculous result; it would go against the evidence of our senses. The second argues denial of the assertion would be untenable; unpleasant or unworkable for society. The third is a mathematical proof by contradiction, arguing that the denial of the premise would result in a logical contradiction (there is a "smallest" number and yet there is a number smaller than it).

Contents

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• 1 Greek philosophy
• 2 The principle of non-contradiction
  • 2.1 The principle of explosion and Paraconsistent Logic
• 3 Straw man argument
• 4 See also
• 5 References

Greek philosophy[edit]

This technique is used throughout Greek philosophy, beginning with Presocratic philosophers. The earliest Greek example of a reductio argument is supposedly in fragments of a satirical poem attributed to Xenophanes of Colophon (c.570 – c.475 BC).^[2] Criticizing Homer's attribution of human faults to the Greek gods, he says that humans also believe that the gods' bodies have human form. But if horses and oxen could draw, they would draw the gods with horse and oxen bodies. The gods can't have both forms, so this is a contradiction. Therefore the attribution of other human characteristics to the gods, such as human faults, is also false.

The earlier dialogs of Plato (424 – 348 BC), relating the debates of his teacher Socrates, raised the use of reductio arguments to a formal dialectical method (Elenchus), now called the Socratic method.^[3][4] Typically Socrates' opponent would make an innocuous assertion, then Socrates by a step-by-step train of reasoning, bringing in other background assumptions, would make the person admit that the assertion resulted in an absurd or contradictory conclusion, forcing him to abandon his assertion. The technique was also a focus of the work of Aristotle(384 – 322 BC).^[4]

The principle of non-contradiction[edit]

Aristotle clarified the connection between contradiction and falsity in his principle of non-contradiction.^[4] This states that an assertion cannot be both true and false. Therefore if the contradiction of an assertion (not-P) can be derived logically from the assertion (P) it can be concluded that a false assumption has been used. This technique, called proof by contradiction has formed the basis of reductio ad absurdum arguments in formal fields like logic and mathematics.^[4]

The principle of non-contradiction has seemed absolutely undeniable to most philosophers.^[4] However a few philosophers such as Heraclitusand Hegel have accepted contradictions.

The principle of explosion and Paraconsistent Logic[edit]

A curious logical consequence of the principle of non-contradiction is that a contradiction implies any statement; if a contradiction is accepted, any proposition (or its negation) can be proved from it. This is known as the principle of explosion (Latin: ex falso quodlibet, "from a falsehood, anything [follows]", or ex contradictione sequitur quodlibet, "from a contradiction, anything follows"), or the principle of Pseudo-Scotus.

"for all Q, P and not-P implies Q"

The discovery of contradictions at the foundations of mathematics at the beginning of the 20th century, such as Russell's paradox, threatened the entire structure of mathematics due to the principle of explosion. This has led a few philosophers such as Newton da Costa, Walter Carnielliand Graham Priest to reject the principle of non-contradiction, giving rise to theories such as paraconsistent logic and its particular form,dialethism, which accepts that there exist statements that are both true and false.

Paraconsistent logics usually deny that the principle of explosion holds for all sentences in logic, which amounts to denying that a contradiction entails everything (what is called “deductive explosion”). The Logics of Formal Inconsistency (LFIs) are a family of paraconsistent logics where the notions of contradiction and consistency are not coincident; although the validity of the principle of explosion is not accepted for all sentences, it is accepted for consistent sentences. Most paraconsistent logics, as the LFIs, also reject the principle of non-contradiction.^[4]

Straw man argument[edit]

Main article: Straw man

A fallacious argument similar to reductio ad absurdum often seen in polemical debate is the straw man logical fallacy.^[5] A straw man argument attempts to refute a given proposition by showing that a slightly different or inaccurate form of the proposition (the "straw man") has an absurd, unpleasant, or ridiculous consequence, relying on the audience not to notice that the argument does not actually apply to the original proposition. For example, in a 1977 appeal of a U.S. bank robbery conviction, a prosecuting attorney said in his closing argument^[6]

I submit to you that if you can't take this evidence and find these defendants guilty on this evidence then we might as well open all the banks and say, "Come on and get the money, boys", because we'll never be able to convict them.

The prosecutor was using this "straw man" to attempt to alarm the appellate judges; the chance that any precedent set by this one particular case would literally make it impossible to convict any bank robbers was undoubtedly remote.

See also[edit]

• Argument from fallacy
• Contraposition
• Mathematical proof
• Proof by contradiction

References[edit]

1. ^ Jump up to:^a b Nicholas Rescher. "Reductio ad absurdum". The Internet Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 21 July 2009.
2. Jump up^ Daigle, Robert W. (1991). "The reductio ad absurdum argument prior to Aristotle". Master's Thesis. San Jose State Univ. RetrievedAugust 22, 2012.
3. Jump up^ Bobzian, Suzanne (2006). "Ancient Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. The Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved August 22, 2012.
4. ^ Jump up to:^{a b c d e f} "Reductio ad absurdum". New World Encyclopedia. 2007. Retrieved August 22, 2012.
5. Jump up^ Lapakko, David (2009). Argumentation: Critical Thinking in Action. iUniverse. p. 119. ISBN 1440168385.
6. Jump up^ Bosanac, Paul (2009). Litigation Logic: A Practical Guide to Effective Argument. American Bar Association. p. 393. ISBN 1616327103. In the original citation, the closing quotation marks are (apparently by mistake) at the sentence's very end.

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